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Analytische Schnittpunkte mittels
spärischer Trigonometrie zur Bestimmung von Standorten nach astronomischer Beobachtung

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Höhengleiche

Sphärische Trigonometrie

 

Berechnungen
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kmlcircle

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 klm-Files

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Wikipedia
WSG84

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 


 

 

 

 

 

 

 

 

Analytischer Schnittpunkt.xls

 


 

 

 

 
 

 

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Um an Bord aus der beobachtete Höhe (Sextant) einen Standort zu berechnen,
hat man die genial vereinfachende Kombi-Methode Rechnen und Zeichnen unter
Einbeziehung des gegissten Standorts benutzt. Ich habe mir damals gedacht,
daß es auch eine analytische Lösung zum Finden der beiden Schnittpunkte nach und von zwei Kleinkreisen auf der Erde geben müßte. Für die Rechnungen stand mir der programmierbare Sharp-Rechner 1304 high zur Verfügung. So stellte ich Nachfragen bei vermeintlich Schlaueren (ETH Zürich, Sternwarte Heidelberg), die beide auf die sphärische Trigonometrie verwiesen, was mit vorher bekannt war. Von einem Lösungsansatz keine Spur. Mein Heureka hatte ich dann 1981 im Allgäu auf der Homberger-Hütte während eines Winterurlaubs. Nachmittags beim Kaffeetrinken kam mir die Idee mit der Seite c als Hilfskonstruktion zwischen den beiden Bildpunkten, die mich zur Lösung des Problems führte. Ich gab den Algorythmus in meinen Rechner ein und war mächtig stolz, als die Berechnung stimmte.               Aus zwei Höhenbeobachtungen eines Gestirns erhält man Hb1 und Hb2. Aus der Declination das von den Bildpunkten A und B  und den Winkel '' aus der Differenz 360°minus der Greenwich-Stundenwinkel und ' des Gestirns. Die Grundlagen sind die Ephemeriden des Gestirns aus dem Nautischen Jahrbuch. Die Kreise um die Bildpunkte A und B sind die sogenannten Höhengleichen, mit dem Radius 90°-Hb (Zenithdistanz), da man auf ihnen das Gestirn mit gleicher Höhe beobachtet. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Schnittpunkten. Das sind hier die gesuchten Standorte B' und B'', deren und , = Breite und =Länge, gesucht werden.

Mit dem Seitencosinussatz der spärischen Trigonometrie werden die fehlenden Seiten mit F1 und die fehlenden Winkel mit F2 berechnet.

F1 ist Formel 1) Aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel wird die ihm gegenüberliegende Seite ermittelt. 
cos c = cos a x cos b + sin a x sin b x cos
Durch entsprechendes Umstellen der Formel können auch die Seiten 
a und b berechnet werden.

F2 ist Formel 2) Aus drei Seiten wird der gegenüberliegende Winkel der ersten Seite der Formel berechnet. 
cos = (cos a - cos b x cos c) / (sin b x sin c)
Durch entsprechendes Umstellen der Formel können auch die Winkel
 und berechnet werden.
     

Die Seiten a und b sind die Komplementärwinkel zu den Declinationen,
genauso wie die Zenitdistanzen a' und b' komplementär zu den Hb´s sind.

In unserem Beispiel sind die Punkte B' und B'' als Standorte nach  φ und λ zu finden. Die Seite c wird aus den Seiten des Komplements der Declinationen a b und dem Winkel (360° minus der Greenwich Stunden-Winkel) ermittelt F1. Anschließend wird der Winkel aus der gefundenen Seite c und den Seiten a b berechnet F2.
    
Aus den Seiten a', b' (das sind die Komplementärwinkel von Hb1 und Hb2) und c wird der Winkel ' berechnet F2.

   
Hier trennen sich die Rechenwege. Um B' auszurechnen wird der Winkel ' vom Winkel subtrahiert, für B'' wird ' zum Winkel addiert. Da der Rechenweg nach B'' mit dem nach B' identisch ist, werde ich nur den nach B' aufzeigen.
 - ' = ''
Aus den Seiten b, b' und Winkel '' wird die Seite a'' mit F1 (= Poldistanz Komplementärwinkel der Breite) und 
aus den Seiten b', b und a'' der Winkel ' mit F2 (= der GrStW) errechnet.

° = 90° minus Poldistanz a''. Ist der Wert von a'' kleiner null, so ist die Breite Süd. Beim GrStW. muß durch logischen Vergleich entschieden werden, ob ' von subtrahiert oder zu addiert werden muß. Ist sin > 0 wird addiert sonst subtrahiert.

Hat man die Werte ermittelt, müssen sie noch Nautik verständlich umgefrickelt werden. Der richtige Standort ergibt sich zur Nähe des Koppelortes. Ist dieser im Rechner, kann der andere Ort von der Anzeige ausgeschlossen werden.

Ist der GrStW größer 180° so wird er von 360° abgezogen. Die Benamung ist Ost. Ist er kleiner 180° bleibt er mit den Namen West.

Ich gehe mit folgenden Werten, die näherungsweise den obigen Abbildungen entsprechen, in die Rechnung ein:

Hb1= 27° Radius 1=63° (1 =  23°  und GrStW1 = 318°) = Bildpunkt 1
Hb2= 42° Radius 2=48° (2 = -14°  und GrStW2 = 028°) = Bildpunkt 2
so ergeben sich die Standorte nach Phi und Lambda
1 = 33°57,7'N     1 = 30°01,0'W        2 = 36°22,7'S   2 = 19°42,7'E
Hätte man einen Globus von 2m Durchmesser, so wäre mit Zirkelschlägen um die Bildpunkte mit den Zenithdistanzen der Beobachtungen ein brauchbarer Wert für die Navigation zu ermitteln. In etwa drei Seemeilen auf einem Millimeter.
Die folgende Abbildung soll nur das Prinzip verdeutlichen, keinesfalls kann mit einer solchen grafischen Methode der Standort ermittelt werden! 


Dann schon eher hier mit der 3D ähnlichen Abbildung auf Google Earth


Um Kreise auf der Google Earth Erdkugel darstellen zu können, gibt es das kmlcircle Programm. Aufrufen mit dem Link links. Es geht ein Fenster auf, in welchem einige Einträge zu machen sind. Der Mittelpunkt des Kreises wird durch die Winkel Declination und GrStw in die Felder Latitude und Longitude eingetragen. Ist die Declination Süd wird sie mit einem Minuszeichen in die Latitude eingetragen. Der GrStw wird immer mit einem Minuszeichen in die Longitude eingetragen. Die mittleren Felder Latitude und Longitude bleiben leer. Der Radius wird durch das Hb gebildet und muß noch folgendermaßen in Meter umgerechnet werden. 
90 - Hb * 6378137 * 2 * Pi / 360
Das ergibt diese Eintragungen.

Weiter geht es mit dem Klick auf Go. In dem dann aufgehenden Fenster auf right here klicken und der erste Kreis wird gebildet. Mit dem zweiten Standort ebenso verfahren. Die Kreise in Google Earth einlesen und die Standorte ermitteln.


Bei gloobezoom.info , einer begleitenden Seite von Google Earth, habe ich eine anderes Tool gefunden, das auch Kreise auf der Erdkugel abbilden kann. Der Administrator, Hombre, hat mir zu meinem Problem ein Script geschrieben, daß Kreise generiert, dessen Punkte 1 Minute auseinander liegen. Damit habe ich erneut einen Standort graphisch ermittelt.
Die zwei klm-Files und Hombres Einstiegskreis sowie meine Erklärungen dazu findet ihr unter nebenstehenden Link. Mit "Kreis zum Anfang" Google Earth aufrufen und mit Rechtsklick auf grünen Punkt weiter.

Hier muß bei bei Link hinter php? folgende Zeile eingefügt werden.
n=23,0&e=-318,0&fill=0&radius=7013128,5&color=red&
Bei n= die Breite eingeben, süd mit Minuszeichen . Bei e= wird der GrStW immer mit Minuszeichen eingegeben . Unter Radius wie oben beschrieben ausrechnen und eingeben. Weiter mit Klick auf "OK" im Fenster "Netzwerklink bearbeiten" und der erste Kreis wird generiert. Abspeichern über  "Datei", speichern", "Ort speichern unter..." kml aussuchen und speichern. Für die Schnittpunkte müssen zwei klm Files erzeugt werden. Beim zweiten Kreis müssen die Werte von n=, e=  und radius= mit den neuen Parametern überschrieben werden. Über Google Earth "Datei" "Öffnen" werden diese bei Google Earth bei der Adresse eingelesen, die als Speicherort im Browser angegeben ist.

Hier ein neues Bild mit geänderten Eingaben.                   

Diese graphisch ermittelten Standorte sind den errechneten nahezu deckungsgleich.

Herr Herbert Huber aus Wien hat zu diesem Thema eine Excel-Tabelle erstellt, mit welcher die die Berechnungen durchgeführt werden können. Er hat sie mir per E-Mail zukommen lassen und mir freundlicherweise erlaubt, sie in meine Homepage zu integrieren.

Bei der analytischen Ermittlung der Schnittpunkte werden ca. 45 Abfragen von Winkelfunktionen benötigt. Es ist leicht vorstellbar, daß dieses den Navigator eines Schiffes überfordert hätte. Der Umweg über den Koppelort, mit Azimut und dem Unterschied aus beobachteter und gemessener Höhe den Standort zu ermitteln, ist eine genial vereinfachende Methode, deren Genauigkeit für die Seefahrt ausreichend war und an Bord gehändelt werden konnte. Die analytische Methode konnte, bevor es programmierbaren Rechnern gab, auf einem Schiff nicht durchgeführt werden. Sie ist deshalb meines Wissens nach, in der nautischen Literatur nicht veröffentlicht worden. Daß aber heute noch alle käuflich zu erwerbenden Astroprogramme für moderne Taschenrechner und sogar PC´s den Ort aus dem Schnittpunkt der Standlinien des Höhendifferenzenverfahrens ermitteln, vereinzelt sogar über den Semiversus, ist meines Erachtens ein Armutszeugnis in das Mathematikverständnis der Ersteller. Den Programmieren fehlt hier offenbar der Einblick in die spärische Trigonometrie. Beinhaltet doch gerade dieses Verfahren einige Mängel nicht, die es beim Hilaire Verfahren gibt. Zum Beispiel: Je schlechter der Koppelort oder je größer die beobachtete Höhe < 60°, desto ungenauer der Ort nach astronomischer Beobachtung.